\documentclass[a4paper]{article}
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\title{\heiti\zihao{2} 习题10.3}
\author{中书君}
\date{\songti 2021年1月13日}

\begin{document}
\maketitle
\section{求下列微分方程的通解 :}
\subsection{$y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y=e^{x}$}
\textbf{解}\quad
齐次方程通解:特征方程$x^2+x+1=0$的两根为$\omega,\omega^2$.

齐次方程通解为:
$$
Y(x)=e^{-\frac{x}{2}}(C_{1}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}x+C_{2}\sin \frac{\sqrt{3}}{2}x )
$$

特解:

显然$1$不是特征方程$x^2+x+1=0$的解,所以设$y^*=Q_{m}(x)e^x=Ae^{x}$,将其带入原方程得:
$$
Ae^{x}+Ae^{x}+Ae^{x}=e^{x}
$$

解得$A=\frac{1}{3}$,从而$y^* = \frac{1}{3}e^{x}$.

所以通解为
$$
Y(x)+y^{*}=\frac{1}{3}e^{x}+e^{-\frac{x}{2}}(C_{1} \cos \frac{\sqrt{3}}{2}x + C_{2} \sin \frac{\sqrt{3}}{2}x)
$$


\subsection{$y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=(x+1) e^{4 x}$}
\textbf{解}\quad
齐次方程通解:特征方程$x^2-5x+6=0$的两根为$2,3$.

齐次方程通解为:
$$
Y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{3x}
$$

特解:

显然$4$不是特征方程$x^2-5x+6=0$的解,所以设$y^{*}=Q_{m}(x)e^{4x}=(Ax+B)e^{4x}$,将其带入原方程得:
$$
\begin{aligned}
&y=(Ax+B)e^{4x}
\\&y'=Ae^{4x}+4(Ax+B)e^{4x}
\\&y''=8Ae^{4x}+16(Ax+B)e^{4x}
\\&8A+16(Ax-B)-5A-20(Ax+b)+6(Ax+B)=x+1
\\&
\left\{\begin{array}{l}
A=\frac{1}{2} \\
B=-\frac{1}{4}
\end{array}\right.\\&
y^{*}=\left(\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\right)e^{4x}
\end{aligned}
$$

通解:
$$
Y(x)+y^{*}=Y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{3x}+\left(\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\right)e^{4x}
$$


\subsection{$y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=x \mathrm{e}^{x}$}
\textbf{解}\quad
齐次方程通解:特征方程为$x^{2}-3x+2=0$,两根为$1,2$.齐次方程通解为:
$$
Y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}
$$

特解:$\lambda=1(e的指数)$是$\lambda^{2}-3\lambda+2=0$的一重根,设$y^{*}=xQ_{m}(x)e^{x}=x(Ax+B)e^{x}$

代入原方程得:
$$
\begin{aligned}&y=(Ax^{2}+Bx)e^{x}
\\&y'=[Ax^{2}+(2A+B)x+B]e^{x}
\\&y''=[Ax^{2}+(4A+B)x+(2A+2B)]e^x
\\&Ax^2+(4A+B)x+(2A+2B)-3Ax^{2}-3(2A+B)x-3B+2Ax^{2}+2Bx=x
\\&
\left\{\begin{array}{l}
A=-\frac{1}{2} \\
B=-1

\end{array}\right.
\\&y^{*}=x(-\frac{1}{2}x-1)e^x
\end{aligned}
$$

通解:
$$
Y(x)+y^{*}=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}+x(-\frac{1}{2}x-1)e^{x}
$$


\subsection{$y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+9 y=5 x \mathrm{e}^{-3 x}$}
\textbf{解}\quad
齐次方程通解:

特征方程:$x^{2}+6x+9=0$,特征根为$-3$.

齐次方程通解为:
$$
Y(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{-3x}
$$

特解:$\lambda = -3$是$\lambda^{2}+6\lambda+9=0$得二重根,设$y^{*}=x^{2}(Ax+B)e^{-3x}$,带入原方程得:
$$
\begin{aligned}
&y=x^{2}(Ax+B)e^{-3x}
\\&y'=e^{-3x}(-3Ax^{3}+3Ax^{2}-3Bx^{2}+2Bx)\\&
y''=e^{-3x}(9Ax^{3}-18Ax^{2}+9Bx^{2}+6Ax-12Bx+2B)
\\&
\left\{\begin{array}{l}
A=\frac{5}{6} \\
B=0
\end{array}\right.\\&
y^{*}=\frac{5}{6}x^{3}e^{-3x}
\end{aligned}
$$

通解:
$$
Y(x)+y^{*}=(C_{1}+xC_{2})e^{-3x}+\frac{5}{6}x^{3}e^{-3x}
$$


\subsection{$y^{\prime \prime}-y^{\prime}=\mathrm{e}^{-x} \sin x$}
\textbf{解}\quad
齐次方程通解:

特征方程:$x^{2}-x=0$,特征根:$1,0$

通解:
$$
Y(x)=C_{1}+C_{2}e^{x}
$$

特解:

$-1+i$不是特征方程的特征根,所以设$y^{*}=(A\cos x+B\sin x)e^{-x}$,将其带入原方程得:
$$
\begin{aligned}
&y=(A\cos x+B\sin x)e^{-x}\\&
y'=e^{-x}(B\cos x-B\sin x-A(\sin x + \cos x))\\&
y''=e^{-x}(2A\sin x-2B\cos x)
\\&
\left\{\begin{array}{l}
A=\frac{3}{10} \\
B=\frac{1}{10}
\end{array}\right.\\&
y^{*}=\frac{1}{10}e^{-x}\sin x+\frac{3}{10}e^{-x}\cos x
\end{aligned}
$$

通解:
$$
Y(x)-y^{*}=C_{1}+C_{2}e^{x}+\frac{1}{10}\sin x e^{-x}+\frac{3}{10}\cos x e^{-x}
$$


\subsection{$y^{\prime \prime}+y=\cos ^{2} x$}
\textbf{解}\quad
$y''+y'=\cos^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$

齐次方程通解:

特征方程:$x^2+1=0$,特征根:$i$.

通解:
$$
Y(x)=C_{1}\cos x+C_{2}\sin x
$$

特解:$y''+y'=\frac{1}{2}+\frac{\cos 2x}{2}$

显然$y^{*}=\frac{1}{2}$是$y''+y'=\frac{1}{2}$得特解.

$\lambda + \omega i=2i$不是特征方程$x^2+x=0$的解,所以设$y^{*}=A\cos 2x+B\sin 2x$
$$
\begin{aligned}
&y = A\cos2x+B\sin2x
\\&y'=-2A\sin2x+2B\cos2x
\\&y''=-4A\cos2x-4B\sin2x
\\&
\left\{\begin{array}{l}
A=-\frac{1}{6} \\
B=0
\end{array}\right.\\&
y^{*}=-\frac{1}{6}\cos 2x
\end{aligned}
$$

所以通解:
$$
Y(x)+\frac{1}{2}+y^{*}=C_{1}\cos x+C_{2}\sin x+-\frac{1}{6}\cos2x+\frac{1}{2}
$$


\subsection{$y^{\prime \prime}+y=e^{2 x}+\sin x$}
\textbf{解}\quad
齐次方程通解:

特征方程:$x^2+1=0$特征根:正负$i$.

通解:
$$
Y(x)=C_{1}\sin x+C_{2}\cos x
$$

特解:

$y''+y=e^{2x}+\sin x$,对于$y''+y=e^{2x}$,显然$\lambda = 2$不是特征方程$x^{2}+1=0$的解,所以设$ y^{*}=Ae^{2x}$.
$$
\begin{aligned}
&y=Ae^{2x}\\&
y'=2Ae^{2x}\\&
y''=4Ae^{2x}
\\&A=\frac{1}{5},y^{*}=\frac{1}{5}e^{2x}
\end{aligned}
$$

对于$y''+y=\sin x $,显然$\lambda + \omega i=i$是特征方程的单根,从而可设$y^{**}=x(A\cos x +B\sin x)$
$$
\begin{aligned}
&y=x(A\cos x + B\sin x)\\&
y'=A\cos x+B\sin x-Ax\sin x+Bx\cos x\\&
y''=-Ax\cos x-Bx\sin x-2A\sin x+2B \cos x
\\&
\left\{\begin{array}{l}
A=-\frac{1}{2} \\
B=0
\end{array}\right.
\\&y^{**}=-\frac{x\cos x}{2}
\end{aligned}
$$

通解:
$$
Y(x)+y^{*}+y^{**}=C_{1}\sin x+C_{2}\cos x+\frac{1}{5}e^{2x}-\frac{xcosx}{2}
$$









\end{document}
\subsection{}
\textbf{解}\quad

\subsection{}
\textbf{证}\quad

\textbf{\textcolor{red}{注}}\quad